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PN's Forum \ Wissen/Nachdenken \ allgemeine Wissenschaft \ hilfe beim Verständnis von komplexen Zahlen


 Poison Nuke  *

#1 Verfasst am 15.09.2008, um 18:54:51



Hallo,

hat einer von euch schon die Grundgedanken von komplexen Zahlen verstanden?:X

weil ich versuche da gerade durchzusteigen, aber in dem Lehrbuch, was ich habe, ist da nur ein kurzabriss über 2 Seiten drin und irgendwie kommt mir da nicht der wirkliche Sinn und Zweck zutage.

Es steht zwar drin, dass eine komplexe Zahl immer aus einem Realteil und einem Imaginärteil besteht (wird dann z.B. (a1, ia2) geschrieben und dass die Potenzen von i eine kreisförmig wechselnde Folge von 1 und i ist mit wechselnden Vorzeichen (also i^0=1, i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1, i^5=i ... ), aber ich erkenn noch nicht den Nutzen darau.

Es soll zwar jetzt z.B. die Wurzel aus einer negativen Zahl lösbar sein, aber wie rechnet man das?

Ich konnte leider bisher keine anschaulichen Beispiele finden, bei denen es dann "klick" macht :X


vorallem interessiert mich, wann man in eine Gleichung einen Imaginärteil einfügt und wie man dann aus dieser Gleichung wieder ein reelles Ergebnis herausbekommt? :hail


greetz
Poison Nuke

manollo139

#2 Verfasst am 15.09.2008, um 20:47:36



Puh ich weiß nicht wie ich das erklären soll....
Ich weiß was es ist wie und warum... Aber erklären kann ich das nicht hab auch dabei versagt, es meinen kammeraden in der klasse zu erklären!

Such mal schnell nen beispiel



Interessengemeinschaft DIY Hifi
DIY-Hifi-Forum

manollo139

#3 Verfasst am 15.09.2008, um 20:50:30



http://www.katharinen.ingolstadt.de/chaos/komplex.htm

http://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.P...zahlenebene.html
http://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.P...aben/uebung1.htm
http://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.P...agZahlenDef.html


Ich glaub, dass das die wichtigsten seiten waren!
Also die haben mir geholfen das zu verstehen!
Aber konkret wozu man die nun im Reallife braucht weiß ich echt nich!

Gibt wohl nen paar elektrotechnische sachen, wo das gebraucht wird!
Haben wir allerdings noch nicht mit angefangen in der schule!


Interessengemeinschaft DIY Hifi
DIY-Hifi-Forum

 Poison Nuke  *

#4 Verfasst am 16.09.2008, um 03:04:22



der erste Link ist super, danke :daumen


damit versteht man das sogar am frühen Morgen ganz gut, was im Mathebuch auf der doppelten Textlänge nicht ersichtlich war :D


also gebraucht werden sie an dauernd, z.B. in der Akustik gibt es sehr viele Gleichungen mit imaginärteil, weil die Gleichungen sonst wohl nicht lösbar wären.


ich schau später mal weiter mir das an, vorallem ein paar Beispiele :hail


greetz
Poison Nuke

 Poison Nuke  *

#5 Verfasst am 17.09.2008, um 20:02:49



hm...irgendwie fehlt mir noch der Zusammenhang zu den "Alltagsgleichungen", wo man dauernd die komplexen Zahlen wiederfindet. Vorhin hatte ich noch z.B. die komplexen Zahlen bei der Darstellung der Impedanz im Schwingkreis :L

verdammt...WOZU und WIE braucht man die komplexen Zahlen:Y
Man findet irgendwie immer nur die grundlegenden Rechenoperationen mit komplexen Zahlen und ansonsten halt nur noch Gleichungssysteme, wo aber nie mehr auf die Verwendung der komplexen Zahlen eingegangen wird...kann doch nicht sein, die reellen Zahlen usw werden in jedem Mathebuch grundlegender als grundlegend behandelt und zu den komplexen Zahlen muss man sich scheinbar alles denken :(




greetz
Poison Nuke

teiring

#6 Verfasst am 19.09.2008, um 22:43:49



Zum Beispiel werden Astronauten mit i^2 = -1 zum Mond geschossen. ;)


Gruß



 Poison Nuke  *

#7 Verfasst am 19.09.2008, um 22:54:48



ähhh... :.:L

Soll das ernst gemeint sein? :L


greetz
Poison Nuke

teiring

#8 Verfasst am 19.09.2008, um 22:57:33



Jap. Keiner hat ne Ahnung, wieso i^2 = -1 ist. Aber trotzdem schießen wir damit Leute auf den Mond.^^



 Poison Nuke  *

#9 Verfasst am 19.09.2008, um 23:01:38



naja, ich nehm an, das ist einfach eine mathematisch Doktrin. Irgendwann musste ja auch mal festgelegt worden sein, das Punkt vor Strichrechnung geht. Ich glaube nicht, dass sich das irgendwie mal hergeleitet hat, auf irgendwelchen unbeweisbaren Grundkonzepten muss die Mathematik ja beruhen und die komplexen Zahlen sind eins davon.


Nur halt ihre Verwendung bereitet mir noch Kopfzerbrechen.

Du hat nicht zufällig ein gutes Beispiel, bei dem zur Lösung komplexe Zahlen eingeführt werden und wo am Ende aber wieder ein rein reeles Ergebnis rauskommt? :hail


greetz
Poison Nuke

teiring

#10 Verfasst am 19.09.2008, um 23:07:51



Beispiel nein, aber ich kann dir sagen, dass du bei der Stringtheorie i brauchst, da die Gamma-bzw. Betafunktion für alle komplexen Zahlen benötigt wird. ;)



 Poison Nuke  *

#11 Verfasst am 19.09.2008, um 23:21:15



nicht nur in der Stringtheorie braucht man i
Allein schon mein Handbuch über Akustik wimmelt nur davon :cut
und auch wenn ich in ein Elektrohandbuch reinschaue, sieht es da nicht viel besser aus:L

Man hat das Gefühl, als würde in der Mathematik ohne i gar nix mehr gehen :D




greetz
Poison Nuke

teiring

#12 Verfasst am 19.09.2008, um 23:24:11



Ich beantworte dir die Fragen, wenn ich immatrikuliert bin. :D



 Poison Nuke  *

#13 Verfasst am 19.09.2008, um 23:36:02



wann ist es soweit? 8)


greetz
Poison Nuke

teiring

#14 Verfasst am 19.09.2008, um 23:42:28



1 Jahr :D



 Poison Nuke  *

#15 Verfasst am 19.09.2008, um 23:49:50



na super:D

solang werd ich bei der Frage hier nicht warten...aber kann doch nicht sein, dass sich hier sonst keiner damit auskennt?
In der Mathematik wird es so oft genutzt, da müsste man sich fast schon denken, dass sich jeder damit auskennt :.:Y


greetz
Poison Nuke

teiring

#16 Verfasst am 19.09.2008, um 23:51:51




Poison Nuke schrieb:
na super:D

solang werd ich bei der Frage hier nicht warten...aber kann doch nicht sein, dass sich hier sonst keiner damit auskennt?
In der Mathematik wird es so oft genutzt, da müsste man sich fast schon denken, dass sich jeder damit auskennt :.:Y



Gibt kaum Leute, die Mathe mögen. ;)



CHILLOUT_AREA

#17 Verfasst am 20.09.2008, um 00:06:47



eben

da habe ich andere Vorlieben,die mehr spass machen.





Cattivo

#18 Verfasst am 20.09.2008, um 00:09:25



Mein Ding ist diese ganze Buchstabensuppe auch nicht.


Gruß Markus
Mein Heimkino

Boettgenstone

#19 Verfasst am 03.10.2008, um 18:11:06



Hallöchen,
komplexe Zahlen ach wie süss... Kotzsmilie?!?
ne soo schlimm ists nicht.

Du brauchst die immer wenn du mit den reellen Zahlen nciht weiterkommst, du darfst jetzt raten wo das überall vorkommt.
Wellenlehre, Signalthoerie, Fouriertransformationen, lauter nette Dinge halt...

Was auch der Grund ist warum du Probleme mit den normalen Gleichungen in Kuttruffs Akustik hast, das Dingen ist richtig schwerer Stoff.


Zitat:
wieso i^2 = -1


naja weil i = sqrt(-1), stellst du die Formel um steht dort i^2 = -1

ein skript:
http://www.fbmn.h-da.de/~ohser/mathe_fuer_obv.html
da gibts auch noch ne Probeklausur... *hehehehehe*


Gruß,
Christoph

 Poison Nuke  *

#20 Verfasst am 03.10.2008, um 18:55:59



danke für das Skript :prost

mal zu Gemüte führen am WE =)


greetz
Poison Nuke

CHILLOUT_AREA

#21 Verfasst am 05.10.2008, um 00:15:01



Ja ,da wünsche ich dir viel spass beim lesen.






Soundfreak

#22 Verfasst am 11.12.2009, um 13:08:10



Also Poison, ich kann dir da nen bissel was erklären. Denn Mathe macht mir Spaß! Da stellt sich mir nur die Frage, wie du es haben willst. Ich kann es dir praktisch erklären oder auch mathematisch. praktisch wird "i^2 = -1" definiert, aber mathematisch führt das zu Schwierigkeiten und es wird anders gemacht.


Wenn ich mal nicht an HiFi denke: EFC-Märkische-Adler oder Rugby-Tourist-Münster

Soundfreak

#23 Verfasst am 11.12.2009, um 13:52:04



Irgendwas stimmt hier nicht, ich fange jetzt zu dritten Mal an was Weiteres zu schreiben. Beim absenden verschwindet mein Text jedes Mal. Also zum dritten!
Klopft mir einfach auf die Finger wenn es zu mathematisch wird :L

Das Problem sieht man hier:
-1 = i^2 = i*i = [sqrt(i*i)]^2 = [sqrt(i)*sqrt(i)]^2
= [(-1) * (-1)]^2 = 1^2 = 1

Die komplexen Zahlen (C) werden also nicht als a+ib definiert sondern als Zahlenpaar (a,b) wobei a und b reele Zahlen (R) sind, genau wie die Vektoren eines kartesischen Koordinatensystems. Zusätzlich werden die beiden folgenden Rechenoperationen definiert um einen mathematischen Körper über der Menge C zu erhalten („Körper“ lass ich mal so stehen, würde den Rahmen eines Forums sprengen):
(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)
(a,b) * (c,d) = (ac-bd,ad+bc)

Um nun unsere bekannte imaginäre Einheit (i) zu erhalten wird sie einfach definiert als
i := (0,1)
Somit gilt dann
i^2 = (0,1) * (0,1) = (-1,0)
also auf Deutsch i^2 = -1! Damit kann man die komplexe Zahle (a,b) nun aufspalten zu ( := heißt definiert).
(a,b) = (a,0) + i(b,0) := a+ib

Ich erzähle da bei Interesse auch gerne mehr!

P.S.: wie kann ich ne Zeile versetzt beginnen?


Wenn ich mal nicht an HiFi denke: EFC-Märkische-Adler oder Rugby-Tourist-Münster

bearbeitet von Soundfreak, am 11.12.2009, um: 14:48:55


 Poison Nuke  *

#24 Verfasst am 11.12.2009, um 14:56:27



supi :daumen


das mit dem absenden hab ich nun den Fehler gefunden, da fehlte eine ganz kleine Stelle wenn zwei Postings zusammengefügt werden :X
geht jetzt wieder :)



und was meinst du mit "einer Zeile verstetzt" ?


das andere muss ich mir dann erstmal durchlesen, ich muss jetzt erstmal für eine Prüfung am Montag lernen und da geht es um was ganz anderes :Y


greetz
Poison Nuke

Soundfreak

#25 Verfasst am 11.12.2009, um 15:03:11



Ich meine damit das die erst später anfängt, würde die Formeln gerne etwa in der Mitte stehen haben, mit Leerzeichen geht das nämlich nicht, die lässt er weg und was dämlich ist, ich hab ständig dieses Smilie im Text bzw. in den Formeln


Wenn ich mal nicht an HiFi denke: EFC-Märkische-Adler oder Rugby-Tourist-Münster

 Poison Nuke  *

#26 Verfasst am 11.12.2009, um 15:04:29



aso, die Formeln am besten mit den "CODE" Tag schreiben. Das "C" auf der linken Seite
dann bleibt das ganze so stehen wie es auch im Eingabefenster ausgesehen hat. Das mit den Smilies muss ich dann mal bei Gelegenheit auch noch machen, das die im Code nicht angezeigt werden.


greetz
Poison Nuke

Soundfreak

#27 Verfasst am 11.12.2009, um 15:09:08



Ne kleine Wiederholung zum Testen:
Das Problem, der einfach Definition der imaginären Einheit i^2=-1 sieht man hier:

Quellcode
       -1 = i^2 = i*i
          = [sqrt(i*i)]^2
          = [sqrt(i)*sqrt(i)]^2
          = [(-1) * (-1)]^2
          = 1^2 = 1


P.S.: Ne LaTeX-Umgebung wäre klasse! Frag mich aber jetzt nicht wie so was klappt, ich weiß nur das es Foren gibt mit sowas!


Wenn ich mal nicht an HiFi denke: EFC-Märkische-Adler oder Rugby-Tourist-Münster

bearbeitet von Soundfreak, am 11.12.2009, um: 15:20:37


TimB

#28 Verfasst am 11.12.2009, um 15:39:24



Oh den Thread habe Ich noch garnicht gesehen


Soundfreak schrieb:

Quellcode
       -1 = i^2 = i*i
          = [sqrt(i*i)]^2
          = [sqrt(i)*sqrt(i)]^2
          = [(-1) * (-1)]^2
          = 1^2 = 1



seit wann ist sqrt(i) = -1 ?


"Beim Beschleunigen müssen die Tränen der Ergriffenheit waagerecht zum Ohr hin abfließen" (Walter Röhrl)

bearbeitet von TimB, am 11.12.2009, um: 15:39:59


Soundfreak

#29 Verfasst am 11.12.2009, um 15:50:03



Da hast du völlig recht, ist es nicht! Da ist mir wohl beim dritten mal schreiben, nen Fehler passiert!

Quellcode
 sqrt(i) = 1/sqrt(2) * [1-i] oder 1/sqrt(2) * [-1+i]

Das muss natürlich wie folgt aussehen:

Quellcode
     1 = sqrt{1}
       = sqrt{ (-1) * (-1)}
       = sqrt{-1} * sqrt{-1}
       = i * i
       = -1


P.S: Poison lösch doch den Test posting mal, sorgt nur für verwirrung!


Wenn ich mal nicht an HiFi denke: EFC-Märkische-Adler oder Rugby-Tourist-Münster

bearbeitet von Soundfreak, am 11.12.2009, um: 15:52:16


TimB

#30 Verfasst am 11.12.2009, um 15:55:47



Mmh, du hast Recht

Ich dachte immer die Mathematik hat keine Fehler

Ich glaube Ich muss da meinen ehemaligen Mathematikprofessor um Rat fragen


"Beim Beschleunigen müssen die Tränen der Ergriffenheit waagerecht zum Ohr hin abfließen" (Walter Röhrl)

bearbeitet von TimB, am 11.12.2009, um: 15:57:09


Soundfreak

#31 Verfasst am 11.12.2009, um 15:58:13



Hat Sie auch nicht, deshalb ist i^2 = -1 oder auch sqrt(-1) = i ja auch nicht die mathematisch korrekte Definition der imaginären Einheit! Schau dir dazu mein längeres Posting von vorhin an!


Wenn ich mal nicht an HiFi denke: EFC-Märkische-Adler oder Rugby-Tourist-Münster

TimB

#32 Verfasst am 11.12.2009, um 16:16:11




Soundfreak schrieb:

Quellcode
 sqrt(i) = 1/sqrt(2) * [1-i] oder 1/sqrt(2) * [-1+i]



dafür müsste [1/sqrt(2) * (1-i)]² = i sein aber:


Quellcode
1/sqrt(2) * (1-i) = 1/sqrt(2) - 1/sqrt(2)i

[1/sqrt(2) * (1-i)]² = [1/sqrt(2) - 1/sqrt(2)i]²
                     = [1/sqrt(2)]² - 2 * 1/sqrt(2) * 1/sqrt(2)i * 1/sqrt(2) + [1/sqrt(2)i]²
                     = 1/2 - i -1/2 
                     = -i





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bearbeitet von TimB, am 11.12.2009, um: 16:16:36


Soundfreak

#33 Verfasst am 11.12.2009, um 16:29:02



Das ist genau die Sache wo man höllisch aufpassen muss! Denn (-2)^2 = 4 aber sqrt(4) = 2 oder doch vielleicht auch -2!
Deshalb löst man solche aufgaben lieber mithilfe der Euler-Formel:

Quellcode
 e^{i*phi) = cos(phi) + i*sin(phi)

Dabei muss man aber daran denken das die e-Funktion im komplexen 2PI periodisch ist.

Aber ist schön zu wissen, das da jemand richtig mitdenkt!


Wenn ich mal nicht an HiFi denke: EFC-Märkische-Adler oder Rugby-Tourist-Münster

bearbeitet von Soundfreak, am 11.12.2009, um: 16:32:02


TimB

#34 Verfasst am 11.12.2009, um 16:35:21




Soundfreak schrieb:
Das ist genau die Sache wo man höllisch aufpassen muss! Denn (-2)^2 = 4 aber sqrt(4) = 2 oder doch vielleicht auch -2!



Daran hatte Ich erst auch gedacht aber das Beispiel mit sqrt(i) war genau in die andere Richtung

Ist 1/sqrt(2) * (1-i) etwa das Ergebnis für sqrt(i) UND sqrt(-i)?

Bei solchen Sachen stößt leider mein Taschenrechner an seine Grenzen


"Beim Beschleunigen müssen die Tränen der Ergriffenheit waagerecht zum Ohr hin abfließen" (Walter Röhrl)

bearbeitet von TimB, am 11.12.2009, um: 16:36:28


Soundfreak

#35 Verfasst am 11.12.2009, um 16:51:02



Also gut, hab zwar nicht mehr viel Zeit, aber dann doch! Das ist wie gesagt das Problem der vereinfachten Definition! Lösen wir es mit Euler, betrachten der richtiger weise aber lieber die Gleichung z^2 = i:

Quellcode
       z^2 = i = 0 + i   da cos(PI/2)=0,sin(PI/2)=1
           = e^[i* (PI/2 + 2PI*k)]
   <=>   z = e^[1/2 * i(PI/2 + 2PI*k)]
           = e^[i* (PI/4 + PI*k)]
           = cos(PI/4 + PI*k) + i sin(PI/4 + PI*k) 

somit haben wir für das Argument zwei werte zwischen 0 und 2*PI, nämlich PI/4 und 3PI/4.
Daraus folgend die beiden Ergebnisse:

Quellcode
         z = 1/sqrt(2) * [1+i]
 oder    z = 1/sqrt(2) * [-1+i]

Dies veranschaulicht der Einheitskreis sehr deutliche!

Ja dann hattest du also doch recht, dass passiert, wenn man da zu schnell durch rennt. Hatte dein's auch nicht nachgerechnet, war vorhin auf die schnelle wohl nen Vorzeichenfehler drin.


Wenn ich mal nicht an HiFi denke: EFC-Märkische-Adler oder Rugby-Tourist-Münster

bearbeitet von Soundfreak, am 11.12.2009, um: 16:51:44


TimB

#36 Verfasst am 11.12.2009, um 16:55:56




Soundfreak schrieb:

Quellcode
       z^2 = i = 0 + i   da cos(PI/2)=0,sin(PI/2)=1
           = e^[i* (PI/2 + 2PI*k)]
   <=>   z = e^[1/2 * i(PI/2 + 2PI*k)]
           = e^[i* (PI/4 + PI*k)]
           = cos(PI/4 + PI*k) + i sin(PI/4 + PI*k) 



wie kommst du jetzt af 2Pi?
und wofür steht k?


"Beim Beschleunigen müssen die Tränen der Ergriffenheit waagerecht zum Ohr hin abfließen" (Walter Röhrl)

Soundfreak

#37 Verfasst am 11.12.2009, um 21:07:03



Zuerstmal, ist mir da vorhin, alsi ch fast meinen Bus verpasst habe, im Bus noch nen kleiner Fehler eingefallen, den ich gerade gemacht habe. Denn die Lösung ist nach meiner Formel nicht PI/4 und 3PI/4 sondern PI/4 (k=0) und PI/4 + PI = 5*PI/4 (k=1). Also auch

Quellcode
         z = 1/sqrt(2) * [1+i]
 oder    z = 1/sqrt(2) * [-1-i]


Aber nun zu deiner Frage! 2PI steht für die Periodizität der e-Funktion und k ist eine natürliche Zahl.


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