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PN's Forum \ Wissen/Nachdenken \ allgemeine Wissenschaft \ was sind additiv gesättigte Teilmengen?


 Poison Nuke  *

#1 Verfasst am 29.10.2013, um 11:23:23



Wir haben hier eine Hausaufgabe, bei der ich ehrlich gesagt noch nicht ganz durchblicke:


G sei eine endliche Menge der natürlichen Zahlen
T sei eine Teilmenge von G


T ist additiv gesättigt, wenn für zwei Zahlen a,b€T, für die a+b€G gilt auch schon folgt: a+b€T


So wie ich das verstehe, soll die Summe zweier Zahlen einer Menge ebenfalls Element dieser Menge sein? Nur wie kann das gehen denke ich mir... wenn ich die vorletzte und letzte Zahl einer Menge nehme, ist deren Summe nie Element der Menge. Einzig die Addition mit Null würde das ermöglichen, nur Null ist nicht Element der definierten Mengen.




greetz
Poison Nuke

TimB

#2 Verfasst am 29.10.2013, um 21:13:28



Das kann sein, wenn a+b kein Element von T und ebenfalls kein Element von G ist.

Weil die Summe a+b nur dann ein Element von T ist, wenn diese ein Element von G ist.

Als einfaches Beispiel fällt mir da gerade ein:
G={1,2,3,5,8,9}
T={3,5,8}


"Beim Beschleunigen müssen die Tränen der Ergriffenheit waagerecht zum Ohr hin abfließen" (Walter Röhrl)

bearbeitet von TimB, am 29.10.2013, um: 21:21:33


 Poison Nuke  *

#3 Verfasst am 29.10.2013, um 21:46:37



hm, also verstehst du das ganze so wie ich, dass z.B. 3+5=8 ist, alle drei Zahlen sind Elemente von T und G.
Nur man soll einen weiteren Beweis führen, dass der Durchschnitt von zwei Teilmengen von G ebenfalls additiv gesättigt ist.
Allerdings beim gegebenen Beispiel von G:=(k€N|0<k<6), sind alle Teilmengen nach meinen Verständnis: A={1,4,5} und B={2,3,5}.

Der Durchschnitt dieser Mengen wäre allerdings {5}, und damit würde die Bedingung nicht zutreffen.


greetz
Poison Nuke

TimB

#4 Verfasst am 29.10.2013, um 21:56:17




Poison Nuke schrieb:
Nur man soll einen weiteren Beweis führen, dass der Durchschnitt von zwei Teilmengen von G ebenfalls additiv gesättigt ist.



Meinst du den Durchschnitt von zwei Teilmengen, die selbst additiv gesättigt sind?


Poison Nuke schrieb:
Allerdings beim gegebenen Beispiel von G:=(k€N|0<k<6), sind alle Teilmengen nach meinen Verständnis: A={1,4,5} und B={2,3,5}.


Alle Teilmengen von G sind ein Paar mehr. G hat 2^5 = 32 Teilmengen: {},{1},{2},...,{5},{1,2},...,{1,5},{2,3},...,{1,2,3},...,{1,2,3,4,5}(=G)


"Beim Beschleunigen müssen die Tränen der Ergriffenheit waagerecht zum Ohr hin abfließen" (Walter Röhrl)

bearbeitet von TimB, am 29.10.2013, um: 21:57:18


 Poison Nuke  *

#5 Verfasst am 29.10.2013, um 22:03:10



nicht P(G), sondern nur die Teilmengen, die additiv gesättigt zu G sind. Nach meinem Verständnis sind das nur zwei Teilmengen.
Und ja der Durchschnitt von A und B, welche selbst additiv gesättigt sein sollen. Ob sie es sind, ka


greetz
Poison Nuke

TimB

#6 Verfasst am 29.10.2013, um 22:13:44



in dem Beispiel dürfte A aber nicht additiv gesättigt sein, da 1+1€G aber nicht 1+1€A gleiches gilt für B und 2+2.

oder muss a != b (ungleich) sein?


"Beim Beschleunigen müssen die Tränen der Ergriffenheit waagerecht zum Ohr hin abfließen" (Walter Röhrl)

 Poison Nuke  *

#7 Verfasst am 29.10.2013, um 22:28:08



stimmt, ist nicht definiert.
Nur welche Teilmengen sind dann überhaupt möglich?


greetz
Poison Nuke

TimB

#8 Verfasst am 30.10.2013, um 06:59:05



spontan fällt mir da ein:
{1,2,3,4,5} (=G)
{2,4}
{5}
{4,5}
{3,4}
{2,3,4,5}
{2,4,5}
{5}
{3}
{3,5}
{} (?)


"Beim Beschleunigen müssen die Tränen der Ergriffenheit waagerecht zum Ohr hin abfließen" (Walter Röhrl)

 Poison Nuke  *

#9 Verfasst am 30.10.2013, um 07:08:34



ok, dann verstehe ich das irgendwie nicht, was a+b€T bedeuten soll

ich verstand es immer so, die Summe von zwei beliebigen Zahlen aus der Menge soll ebenfalls Element der Menge sein....
also bei {1,4,5} wäre 1+4=5, um die Bedingung zu erfüllen. Wie verstehst du die Bedingung`?


greetz
Poison Nuke

Chichiri

#10 Verfasst am 31.10.2013, um 10:33:37



Hallo,

hab' mich ja schon länger nicht mehr gemeldet ;-)

zum Thema:

Sei G = [5]

- einige mögliche nicht ad. gesättigte T: {1} {1;2}

- ein additiv gesättigtes T in G: {2;4} (erlaubte Addition(en) nach Voraussetzung: 2+2 ; {2+4} kein Element in G)


viele Grüße!

Dies ist eine Initiative gegen die Diskriminierung von Rechtschreibfehlern

 Poison Nuke  *

#11 Verfasst am 31.10.2013, um 10:45:57



HI,

danke für die Antwort. Irgendwie hilft mir das aber auch nicht weiter beim Verständnis
warum ist nur die Menge {2,4} additiv gesättigt und nicht {1,4,5} und {2,3,5} ?
Letztere haben ja auch an sich mindestens eine erlaubte Addition, deren Ergebnis Teil von T ist (und damit auch Teil von G).



greetz
Poison Nuke

Chichiri

#12 Verfasst am 31.10.2013, um 12:25:16



Jepp, aber alle erlaubten Additionen müssen in T liegen.

Widersprüche:

bei {1;4;5}: 1+1=2 notin T (aber es ist eine erlaubte Add. weil 2 in G)
bei {2;3;5}: 2+2=4 notin T (Begründung analog)

Ein paar weitere (triviale) gesättigte Mengen: {4;5}, {4}, {5}, {3;4;5} (trivial, weil es jeweils keine erlaubte Addition gibt)

Beispiel einer (schlecht gewählten) Konstruktion einer gesättigten:

Sei 1 in T => 1+1=2 in T => 2+2=4 in T und 1+2=3 in T => 2+3=5 in T => T = G

Jetzt solltest du eig. die anderen gesättigten finden können



viele Grüße!

Dies ist eine Initiative gegen die Diskriminierung von Rechtschreibfehlern

TimB

#13 Verfasst am 31.10.2013, um 13:41:28



Also sind die von mir aufgelisteten Mengen additiv gesättigte Teilmengen (von G)?


"Beim Beschleunigen müssen die Tränen der Ergriffenheit waagerecht zum Ohr hin abfließen" (Walter Röhrl)

bearbeitet von TimB, am 31.10.2013, um: 13:42:56


 Poison Nuke  *

#14 Verfasst am 31.10.2013, um 13:50:21




Chichiri schrieb:
Jepp, aber alle erlaubten Additionen müssen in T liegen.





Zitat:
Jetzt solltest du eig. die anderen gesättigten finden können



deine Aussage ist schon ein Widerspruch und eigentlich solltest du das doch auch rausgefunden haben
wenn alle erlaubten Additionen in der Menge liegen müssen, dann KANN es NIE eine additiv gesättigte Menge geben.

Allein schon wenn man 4+5 in der Menge G rechnet, liegt das Ergebnis außerhalb von G, damit ist die Bedingung nicht erfüllt. D.h. auch T={2,4} kann damit keine gesättigte Menge sein, weil die Addition von 2 und 4 außerhalb der Menge liegt.


oder?


greetz
Poison Nuke

TimB

#15 Verfasst am 31.10.2013, um 14:05:21



Les noch mal die Definition, die du oben geschrieben hast


"Beim Beschleunigen müssen die Tränen der Ergriffenheit waagerecht zum Ohr hin abfließen" (Walter Röhrl)

 Poison Nuke  *

#16 Verfasst am 31.10.2013, um 14:25:21



stimmt, Fehler von mir.

Nur ein wenig komisch kommt es mir schon vor, weil es gibt am Ende nur zwei Möglichkeiten:

T=G oder a=b
etwas anderes bleibt nicht übrig, oder?
ok, es ist keine Bedingung gestellt, dass a nicht gleich b sein soll, nur ist es aus meiner Sicht irgendwie sinnlos




greetz
Poison Nuke

TimB

#17 Verfasst am 31.10.2013, um 16:59:21




Poison Nuke schrieb:
...weil es gibt am Ende nur zwei Möglichkeiten:

T=G oder a=b
etwas anderes bleibt nicht übrig, oder?


{2,3,4,5}


"Beim Beschleunigen müssen die Tränen der Ergriffenheit waagerecht zum Ohr hin abfließen" (Walter Röhrl)

 Poison Nuke  *

#18 Verfasst am 31.10.2013, um 17:57:06



so langsam steig ich durch
langsame Geburt


ok, nächstes Problem... man soll zeigen, dass der Durchschnitt von zwei echten, additiv gesättigten Teilmengen von G selbst auch immer additiv gesättigt ist.

Naja, um das erstmal über ein Beispiel zu sehen, habe ich für mich selbst die Menge G:={x€N|0<x<10} erstellt und alle add..ge.. Teilmengen erstellt, das müssten sein:

T1={4,8}
T2={3,6,9}
T3={2,4,6,8}
T4={2,3,4,5,6,7,8,9}

Wenn ich jetzt den Durchschnitt von T2 und T3 bilde, dann kommt da {6} raus. Eine Menge mit nur einem Element kann aber par Definition niemals additiv gesättigt sein.


Habe ich jetzt einen Fehler gemacht?


greetz
Poison Nuke

TimB

#19 Verfasst am 31.10.2013, um 18:39:27




Poison Nuke schrieb:
Wenn ich jetzt den Durchschnitt von T2 und T3 bilde, dann kommt da {6} raus. Eine Menge mit nur einem Element kann aber par Definition niemals additiv gesättigt sein.


Doch a und b sind bei dieser Menge gleich 6. 6+6 = 12, liegt nicht in G und daher auch nicht in der Teilmenge.


"Beim Beschleunigen müssen die Tränen der Ergriffenheit waagerecht zum Ohr hin abfließen" (Walter Röhrl)

 Poison Nuke  *

#20 Verfasst am 31.10.2013, um 19:02:00



Da es aber nicht in der Menge liegt, erfüllt es nicht die Definition, oder? (a+b€T)
Ergo ist {6} keine additiv gesättigte Menge ... oder?


greetz
Poison Nuke

TimB

#21 Verfasst am 31.10.2013, um 19:32:33




Poison Nuke schrieb:
T ist additiv gesättigt, wenn für zwei Zahlen a,b€T, für die a+b€G gilt auch schon folgt: a+b€T




"Beim Beschleunigen müssen die Tränen der Ergriffenheit waagerecht zum Ohr hin abfließen" (Walter Röhrl)

 Poison Nuke  *

#22 Verfasst am 31.10.2013, um 20:57:01



jetzt denk mal scharf nach.

Was ist die Summe von 6+6? 12
Ist 12 € von T? Nein
Ist 12 € von G? Auch nicht.


Also was willst du mir jetzt damit sagen?


greetz
Poison Nuke

TimB

#23 Verfasst am 01.11.2013, um 00:08:29



Dass die Definition einer additiv gesättigten Teilmenge T einer endlichen Menge G besagt, dass die Summe von 2 Elementen dieser Teilmenge in der Teilmenge enthalten ist, sofern diese Summe in der Menge G enthalten ist

Genau das ist doch die Aussage der von dir im ersten Posting genannten Definition


"Beim Beschleunigen müssen die Tränen der Ergriffenheit waagerecht zum Ohr hin abfließen" (Walter Röhrl)

bearbeitet von TimB, am 01.11.2013, um: 00:10:06


 Poison Nuke  *

#24 Verfasst am 01.11.2013, um 07:35:02



ein "sofern" in diesem Kontext gibt es aber meines Wissens nicht in der Mathematik.
Die Definition in Wortsprache heißt doch eigentlich korrekt:

Wenn es zwei Zahlen der Menge T gibt, deren Summe in G und in T enthalten ist, dann ist T eine additiv gesättigte Teilmenge. Ansonsten ist T keine additiv gesättigte Teilmenge.


Weil das a+b€T lässt IMHO doch gar nichts anderes zu, als dass die Summe Element sein MUSS.. ?


greetz
Poison Nuke

 Poison Nuke  *

#25 Verfasst am 01.11.2013, um 11:04:04



hab gerade meinen Prof dazu gefragt... also du hast recht, auch wenn es für mich noch nicht so ganz durchsichtig ist, vermutlich hab ich da irgendeinen Logikfehler noch im Kopf

also ist die Liste der Teilmengen sogar noch größer.

alle einzelne Zahlen, deren Summe nicht in G liegen, sind auch additiv gesättigte Teilmengen.


d.h. bei G={1,...,5} ist auch {3,4,5} additiv gesättigt.


ich scheitere wohl einfach gerade daran, dass ich versuche, einen Sinn in der Definition zu finden, den es wohl nicht gibt.


greetz
Poison Nuke

TimB

#26 Verfasst am 01.11.2013, um 16:59:32




Poison Nuke schrieb:
T ist additiv gesättigt, wenn für zwei Zahlen a,b€T, für die a+b€G gilt auch schon folgt: a+b€T



Die Definition sagt doch das für a,b€T für die a+b in G liegt a+b auch in T liegt, heißt wiederum, dass a+b nicht in T liegt, wenn es nicht in G liegt (kann ja auch nicht, da alle Elemente von T auch G liegen)

- Beiträge wurden automatisch zusammengefügt -
Grund: Doppelposting


Also einen Sinn ergibt die Definition schon. Ich frage mich allerdings wofür man eine additiv gesättigte Teilmenge braucht


"Beim Beschleunigen müssen die Tränen der Ergriffenheit waagerecht zum Ohr hin abfließen" (Walter Röhrl)

bearbeitet von TimB, am 01.11.2013, um: 17:01:40


 Poison Nuke  *

#27 Verfasst am 01.11.2013, um 22:13:12



nagut, zumindest endlich geklärt
danke


jetzt kommt für mich (ungeübten) nur der wesentlich interessantere Teil... beweisen, das für jede beliebige Menge G der Durchschnitt zweiter beliebiger T auch immer additiv gesättigt ist.

Ich setz mich erstmal ran, bitte nichts vorsagen, solange ich noch nicht verzweifelt bin


greetz
Poison Nuke

Chichiri

#28 Verfasst am 02.11.2013, um 07:40:57



Meld' dich, wenn wir deine Lsg. Korrekturlesen sollen


viele Grüße!

Dies ist eine Initiative gegen die Diskriminierung von Rechtschreibfehlern

bearbeitet von Chichiri, am 02.11.2013, um: 07:41:14


TimB

#29 Verfasst am 02.11.2013, um 09:20:44




Poison Nuke schrieb:
jetzt kommt für mich (ungeübten) nur der wesentlich interessantere Teil... beweisen, das für jede beliebige Menge G der Durchschnitt zweiter beliebiger T auch immer additiv gesättigt ist.



Das ist das "schöne" am Beweisen, es ist einem (häufig) logisch völlig klar, dass es so sein muss, aber das zu beweisen wird dann "etwas" schwieriger.



"Beim Beschleunigen müssen die Tränen der Ergriffenheit waagerecht zum Ohr hin abfließen" (Walter Röhrl)

 Poison Nuke  *

#30 Verfasst am 05.11.2013, um 07:49:45



ich habe keine Ahnung wie ich den Beweis wirklich mathematisch ausdrücken soll, aber ich habe mal versucht die Bedingungen zu formulieren:


Def:

G := {x€N | 0<x<(n+1), n€N}

T ist additiv gesättigt, wenn:
T := {x€G | x>(n/2) oder x€{Pi*k|k€N, k>0} für 2x<(n+1)}

d.h. die Menge darf beliebige Zahlen größer n/2 haben, da die Summe von diesen Zahlen immer außerhalb von G liegt.
Und die Menge darf eine Folge von Vielfachen von Primzahlen enthalten, und von diesen Vielfachen ist eine Folge von deren Vielfachen ebenfalls gültig, usw, solange das zweifache des größten Startvielfaches nicht größer als n ist.



Die nichtleere Schnittmenge zweiter solcher Teilmengen ist auch immer additiv gesättigt, weil:
wenn beide Mengen Zahlen größer n/2 enthalten, ist die Schnittmenge auch immer größer n/2
wenn beide Mengen eine Folge von Primzahlvielfachen enthalten, dann ist auch eine nichtleere Schnittmenge immer eine Folge von Primzahlvielfachen.




Jetzt hängt es bei mir nur, wie man das korrekt mathematisch ausdrückt? Und ich denke die letzte Zeile müsste mal wohl noch etwas im Detail beweisen, oder? Nur wie


greetz
Poison Nuke

bearbeitet von Poison Nuke, am 05.11.2013, um: 07:50:09


TimB

#31 Verfasst am 05.11.2013, um 08:46:34



Mir fällt da gerade ein anderer Beweis ein:

Sei G endliche Menge; T1,T2 additiv gesättigte Teilmengen von G

a,b € T1 Schnitt T2 <=> a,b€T1 und a,b€T2 => a+b€T1 und a+b€T2 für a+b€G => a+b€ T1 Schnitt T2 für a+b€G


"Beim Beschleunigen müssen die Tränen der Ergriffenheit waagerecht zum Ohr hin abfließen" (Walter Röhrl)

 Poison Nuke  *

#32 Verfasst am 05.11.2013, um 08:54:39



hm, stimmt. Warum einfach, wenn es auch kompliziert geht (mein Beweis )

simpel, aber effizient
danke für die Hilfe


greetz
Poison Nuke

typhson

#33 Verfasst am 05.11.2013, um 14:25:48



Gönnt euch & #8714;





TimB

#34 Verfasst am 05.11.2013, um 14:54:48





Oh, das ist hilfreich

- Beiträge wurden automatisch zusammengefügt -
Grund: Doppelposting


& #8712 ( ∈ ) ist aber passender


TimB schrieb:
Sei G endliche Menge; T1,T2 additiv gesättigte Teilmengen von G

a,b € T1 Schnitt T2 <=> a,b€T1 und a,b€T2 => a+b€T1 und a+b€T2 für a+b€G => a+b€ T1 Schnitt T2 für a+b€G




Zitat:
Sei G endliche Menge; T1,T2 additiv gesättigte Teilmengen von G

a,b ∈ T1 ∩ T2 <=> a,b ∈ T1 ∧ a,b ∈ T2 => a+b ∈ T1 ∧ a+b ∈ T2 für a+b ∈ G => a+b ∈ T1 ∩ T2 für a+b ∈ G



sieht doch gleich viel besser aus


"Beim Beschleunigen müssen die Tränen der Ergriffenheit waagerecht zum Ohr hin abfließen" (Walter Röhrl)

bearbeitet von TimB, am 05.11.2013, um: 15:09:45

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