Registrierung
leer
leer
newposts
Users
search
FAQ
Login
Start

Hallo Gast, und Willkommen im Forum. Sie müssen sich einloggen oder registrieren, um alle Funktionen nutzen zu können.


PN's Forum \ Wissen/Nachdenken \ allgemeine Wissenschaft \ Injektiv und Surjektiv beweisen?


 Poison Nuke  *

#1 Verfasst am 10.11.2013, um 12:37:49



Hi,

Injektiv heißt ja, jedes Element der Zielmenge wird maximal einmal angenommen. Es gibt also keine zwei Elemente der Definitionsmenge, die auf ein Element der Zielmenge abgebildet werden.

D.h. wenn x1==x2 dann ist auch f(x1)==f(x2) oder umgedreht, wenn x1!=x2 dann ist auch f(x1)!=f(x2)


Ich stoße für mich dann aber an ein Verständnisproblem, wenn ich beweisen soll ob eine Abbildung injektiv ist. Uns wurde gezeigt, man setze f(x1)==f(x2) und zeige dann, dass die Ergebnismengen gleich sind.
Nur wenn ich jetzt beispielsweise mal f(x)=x² nehme und x1=2 und x2=-2 setze, dann erhält man in beiden Fällen 4. Die Funktion ist nicht injektiv, aber die Bedingung f(x1)==f(x2) ist trotzdem erfüllt.


Wie kann man jetzt am besten zeigen, ob eine Abbildung injektiv ist oder nicht?


greetz
Poison Nuke

TimB

#2 Verfasst am 10.11.2013, um 13:50:59




Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar schrieb:
Eine Abbildung f: X -> Y heißt

- injektiv, falls für x1,x2 ∈ X aus f(x1)=f(x2) stets x1=x2 folgt.
- surjektiv, falls es zu jedem y ∈ Y ein x ∈ X gibt mit y=f(x)



Also das bedeutet:
injektiv: Jedes Element aus Y wird maximal von einem x angenommen.
surjektiv: Jedes Element aus Y wird getroffen.


Poison Nuke schrieb:
D.h. wenn x1==x2 dann ist auch f(x1)==f(x2)


So herum ist es nicht(!) die Definition von injektiv, sonder ist Teil der Definition einer Abbildung selbst.


- Beiträge wurden automatisch zusammengefügt -
Grund: Doppelposting



Poison Nuke schrieb:
Nur wenn ich jetzt beispielsweise mal f(x)=x² nehme und x1=2 und x2=-2 setze, dann erhält man in beiden Fällen 4. Die Funktion ist nicht injektiv, aber die Bedingung f(x1)==f(x2) ist trotzdem erfüllt.



Die Funktion ist ja gerade nicht injektiv, weil diese Bedingung ( f(x1) = f(x2) ) für x1 != x2 erfüllt ist.


"Beim Beschleunigen müssen die Tränen der Ergriffenheit waagerecht zum Ohr hin abfließen" (Walter Röhrl)

 Poison Nuke  *

#3 Verfasst am 10.11.2013, um 16:26:59



d.h. wenn ich nachweise dass bei y=y auch x=x ist, beweise ich damit automatisch, dass die Funktion injektiv ist?


greetz
Poison Nuke

TimB

#4 Verfasst am 10.11.2013, um 20:06:04



Genau, wobei das in der Regel schwieriger ist als das Gegenteil zu beweisen


"Beim Beschleunigen müssen die Tränen der Ergriffenheit waagerecht zum Ohr hin abfließen" (Walter Röhrl)

 Poison Nuke  *

#5 Verfasst am 10.11.2013, um 20:20:54



danke. Ja das merke ich gerade an einem Beispiel für die Funktion
f: R² -> R² mit T(x,y) = (x+2y,3x-y)

ich kann jetzt zwar T(x1,y1)=T(x2,y2) setzen und entsprechend die Terme gleichsetzen, aber danach weiß ich nicht mehr weiter


PS: bei einer surjektiven Abbildung ist der Beweis aber richtig mit, Umkehrfunktion bilden und schauen ob diese lösbar ist?


greetz
Poison Nuke

bearbeitet von Poison Nuke, am 10.11.2013, um: 20:21:03


TimB

#6 Verfasst am 10.11.2013, um 21:38:03




Poison Nuke schrieb:
PS: bei einer surjektiven Abbildung ist der Beweis aber richtig mit, Umkehrfunktion bilden und schauen ob diese lösbar ist?



Ich würde eher sagen, ob diese für die gesamte Menge definiert ist.

Also z.B.
f: R -> R f(x)=x²

Die Umkehrfunktion wäre ∓√y, diese ist nicht in ganz R definiert.




"Beim Beschleunigen müssen die Tränen der Ergriffenheit waagerecht zum Ohr hin abfließen" (Walter Röhrl)

PN's Forum \ Wissen/Nachdenken \ allgemeine Wissenschaft \ Injektiv und Surjektiv beweisen?


- Zurück zur Homepage - Eigene Beiträge - Neue Beiträge - Wer ist online? - Impressum - Datenschutz - Statistiken -



Board coded and provided by: Poison Nuke
Copyright 2007-2014, Robert Menger