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PN's Forum \ Wissen/Nachdenken \ allgemeine Wissenschaft \ Injektivität bei komplexen Abbildungen


 Poison Nuke  *

#1 Verfasst am 01.02.2014, um 00:26:01



Hio,

ich hänge gerade an einem Injektivitätsnachweis.

Die Abbildung C³->C³ mit f(x1,x2,x3) = ((x1+ix2), (x1-ix3), (-ix1+x2))

ich hänge da schon bei der ersten Zeile. Da bleibt bei der Injektivität ja übrig (alle x,y€C³ gilt, wenn f(x)=f(y) dann x=y)

x1-y1 + ix2-iy2

der erste Term ist ja klar dass der Null sein kann wenn beides gleich ist. Bei den komplexen Zahlen bin ich mir aber nicht sicher. Kann es nicht zwei ungleiche komplexe Zahlen geben, die zusammen mit i dann doch wieder gleich sind?

Zudem kann die Funktion ja eigentlich auch nicht Injektiv sein, da der Rang der Matrix 2 ist, bzw der Kern ist ungleich dem Nullvektor, -> also eine singuläre Matrix.


greetz
Poison Nuke

tapsel

#2 Verfasst am 01.02.2014, um 01:12:56




Poison Nuke schrieb:
Kann es nicht zwei ungleiche komplexe Zahlen geben, die zusammen mit i dann doch wieder gleich sind?



Huhu,

nein das gibt es nicht. "Zwei komplexe Zahlen sind definitionsgemäß nur gleich wenn Real- und Imaginäteil für sich einader gleich sind". Den tollen Text habe ich eben in meinem alten Bronstein nachgeschaut, das Taschenbuch kann ich dir sehr empfehlen.



 Poison Nuke  *

#3 Verfasst am 01.02.2014, um 09:36:07



Hi,

oki, das stellt mich halt nur vor ein Problem:
Die Matrix ist singulär (weil sie einen Kern hat ungleich dem Nullvektor), und daher kann sie per Definition nicht injektiv wie auch surjektiv sein.
Wenn allerdings es keine zwei komplexen Zahlen geben kann die zur selben Lösung in der Abbildung führen, dann kann ich auch kein Beispiel zeigen von zwei Urbildern die das gleiche Bild ergeben.

Ich probiere schon die ganze Zeit rum, aber ich finde einfach kein Bild, das zwei Urbilder hat.


greetz
Poison Nuke

TimB

#4 Verfasst am 01.02.2014, um 09:52:04



f(1,i,-i)=(0,0,0)=f(i,-1,1)


"Beim Beschleunigen müssen die Tränen der Ergriffenheit waagerecht zum Ohr hin abfließen" (Walter Röhrl)

tapsel

#5 Verfasst am 01.02.2014, um 09:54:55




Poison Nuke schrieb:
Wenn allerdings es keine zwei komplexen Zahlen geben kann die zur selben Lösung in der Abbildung führen...



Das geht aber. Einfachstes Beispiel, der Betrag einer komplexen Zahl => y = f(x) = |x|

|3+i5| == |3-i5|



 Poison Nuke  *

#6 Verfasst am 01.02.2014, um 10:08:47



also wenn man eine Abbildung mit Betrag hat, dann hat man in allen Zahlenräumen (ok bei H bin ich mir da nicht sicher) mindestens zwei Lösungen.
Aber hier gibt es ja keinen Betrag. Wenn ich in die Gleichungen einfach eine konjungiert komplexe Zahl einsetze, kommt bei mir auch immer etwas anderes raus.



TimB schrieb:
f(1,i,-i)=(0,0,0)=f(i,-1,1)




juhu, danke
stimmt auf die Idee hätte ich auch mal kommen können, einfach die Lösung des homogenen GLS anschauen.



greetz
Poison Nuke

tapsel

#7 Verfasst am 01.02.2014, um 10:33:51



Sorry, hab vor dem ersten Kaffee ganz den Bezug zur eigentlichen Fragestellung übersehen (bei dieser Abbildung)


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